問題描述：
振型 i 在 X 方向地震作用下的振型質(zhì)量參與系數(shù)為：
請(qǐng)問，推導(dǎo)該公式的基本原理和具體過程是怎樣的呢？
解答：
振型質(zhì)量參與系數(shù)：在特定方向的單位地震加速度荷載作用下，振型 i 產(chǎn)生的基底剪力與整個(gè)結(jié)構(gòu)的基底剪力的比值。關(guān)于振型質(zhì)量參與系數(shù)的推導(dǎo)，具體如下：
1、在特定方向的單位地震加速度荷載作用下，耦合的多自由度體系的動(dòng)力平衡方程如下：
設(shè)結(jié)構(gòu)的靜力自由度總數(shù)為 n，則 n 階列向量 {I } 的表達(dá)式為：
a、對(duì)于 X 方向的地震加速度，則有：
b、對(duì)于 Y 方向的地震加速度，則有：
2、對(duì)節(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行坐標(biāo)變換，以廣義坐標(biāo)代替幾何坐標(biāo)，即：
其中，N 為結(jié)構(gòu)的振型總數(shù)（即結(jié)構(gòu)的動(dòng)力自由度總數(shù)）
3、利用結(jié)構(gòu)振型的正交性，并假設(shè)阻尼矩陣也滿足正交條件，即可將多自由度體系的動(dòng)力平衡方程解耦合，得到 N 個(gè)獨(dú)立的單自由度體系的動(dòng)力平衡方程，如下：
4、考慮到結(jié)構(gòu)振型關(guān)于質(zhì)量的歸一化處理，單自由度體系的動(dòng)力平衡方程可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：
其中，振型參與系數(shù)為：
由于等號(hào)右邊的動(dòng)力荷載并不隨時(shí)間變化（即非時(shí)間函數(shù)），故該方程的穩(wěn)態(tài)解即靜力解。即：
5、通過振型疊加將節(jié)點(diǎn)位移由廣義坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為幾何坐標(biāo)，則振型 i 對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移向量為：
6、振型 i 對(duì)應(yīng)的地震力向量為：
7、振型 i 中施加在節(jié)點(diǎn)自由度 j 上的地震力為：
8、振型 i 的基底剪力為：
a、對(duì)于 X 方向的地震加速度，根據(jù) {I } 的表達(dá)式可得：
b、對(duì)于 Y 方向的地震加速度，根據(jù) {I } 的表達(dá)式可得：
9、對(duì)于單位地震加速度荷載，整個(gè)結(jié)構(gòu)的基底剪力在數(shù)值上與結(jié)構(gòu)在特定方向上的總質(zhì)量相等，具體如下：
a、對(duì)于 X 方向的地震加速度，根據(jù) {I } 的表達(dá)式可得：
b、對(duì)于 Y 方向的地震加速度，根據(jù) {I } 的表達(dá)式可得：
10、綜上，振型 i 在 X 和 Y 方向地震作用下的質(zhì)量參與系數(shù)分別為：
如果用戶提取數(shù)量足夠的振型數(shù)量，則累計(jì)的質(zhì)量參數(shù)系數(shù)可達(dá)到規(guī)范要求的 90% 以上。