問題描述：
對(duì)兩端固定的等截面梁施加轉(zhuǎn)角位移荷載（RY=1），如下圖所示。其中，左右兩個(gè)模型的幾何長(zhǎng)度、截面屬性、材料屬性、支座約束以及位移荷載等完全相同。唯一的不同點(diǎn)在于：左側(cè)模型由單個(gè)框架單元組成，跨中位置無(wú)節(jié)點(diǎn)；右側(cè)模型通過幾何分割后由兩個(gè)框架單元組成，跨中位置有節(jié)點(diǎn)。
從理論上講，以上兩個(gè)模型的變形曲線應(yīng)完全相同。但是，從 SAP2000 的計(jì)算結(jié)果來(lái)看，二者的變形曲線卻相差較大，如下圖所示。請(qǐng)問，如何評(píng)價(jià)兩個(gè)模型的變形曲線？哪個(gè)結(jié)果是正確的呢？
解答：
如果從梁的整體變形曲線來(lái)考慮，以上兩個(gè)模型的變形曲線都不可靠。默認(rèn)情況下，SAP2000 對(duì)框架單元的變形形狀采用三次曲線進(jìn)行擬合，這往往都會(huì)帶有一定的近似性。事實(shí)上，SAP2000 采用的三次曲線擬合基于材料力學(xué)中的撓曲線近似微分方程，如下所示。
對(duì)于上述撓曲線近似微分方程，以下兩點(diǎn)值得注意：
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該方程只考慮桿件的彎曲變形，即：彎矩作用下的撓曲線。如果考慮桿件的剪切變形，上述方程顯然無(wú)法給出正確的變形曲線。事實(shí)上，在考慮剪切變形的情況下，桿件的變形形狀不會(huì)是理想的冪函數(shù)曲線。此時(shí)，只能利用單位荷載法計(jì)算具體位置處特定方向上的位移。
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該方程描述了撓度與彎矩間的數(shù)學(xué)關(guān)系，即：撓曲線函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)與彎矩函數(shù)成正比?；诖?，如果桿件的彎矩圖為二次曲線或三次曲線，如：均布線荷載或三角形分布的線荷載所產(chǎn)生的彎矩圖，如下所示。此時(shí)，相應(yīng)的撓曲線應(yīng)為四次曲線或五次曲線，而 SAP2000 提供的三次曲線顯然無(wú)法擬合這種更高次的曲線形狀。
綜上，SAP2000 中以三次曲線正確擬合桿件變形形狀的前提條件是：桿件只發(fā)生彎曲變形且桿件的彎矩圖為常數(shù)或線性函數(shù)。對(duì)于題目中的兩個(gè)計(jì)算模型，桿件的彎矩圖顯然為常數(shù)（具體可參考結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移轉(zhuǎn)角方程，此處不再贅述）。因此，只要忽略桿件的剪切變形（具體方法可參考《兩端固定的等截面梁的跨中位移（一）》），兩個(gè)模型必然可以得到相同的正確的變形曲線，如下所示。注意：這里并不是說“只要忽略剪切變形，三次曲線擬合就可以得到正確的變形曲線”，前提是桿件的彎矩圖為常數(shù)或線性函數(shù)，而題目中的計(jì)算模型恰好滿足該條件。
如果只考慮跨中位置處的位移，則第二個(gè)模型（即：跨中布置節(jié)點(diǎn)的模型）的結(jié)果是正確的。事實(shí)上，如果用戶關(guān)注某個(gè)具體位置處的位移，則必須在該位置處布置節(jié)點(diǎn)，而不能僅僅依賴三次曲線擬合所得到的位移。當(dāng)然，布置節(jié)點(diǎn)的具體方式可以采用幾何對(duì)象的分割操作或指定自動(dòng)剖分選項(xiàng)。
關(guān)于桿件位移的手算方法，主要包括材料力學(xué)中的撓曲線近似微分方程和結(jié)構(gòu)力學(xué)中的單位荷載法。前者從撓度與彎矩的數(shù)學(xué)關(guān)系入手，可以一次性獲取整個(gè)桿件的變形曲線。該方法計(jì)算高效但只能考慮彎曲變形，不適用諸如深梁的位移計(jì)算。后者則從能量的角度入手，計(jì)算不同位置處不同方向上的位移。該方法雖然手算效率不高但便于編制計(jì)算機(jī)程序，并且可以考慮桿件的各種變形形式（如剪切變形）。
如前文所述，三次曲線擬合相當(dāng)于“簡(jiǎn)化版”的撓曲線近似微分方程，所謂“簡(jiǎn)化”是因?yàn)樵摲椒o(wú)法擬合更高次（四次及以上）的變形曲線。而用戶布置的節(jié)點(diǎn)則相當(dāng)于采用單位荷載法輸出節(jié)點(diǎn)位移，無(wú)論是否考慮剪切變形以及低次或高次的撓曲線，該方法均可以輸出正確的節(jié)點(diǎn)位移。